ウィットテーカー関数

合流型超幾何関数(confluent hypergeometric function)は合流型超幾何微分方程式の解である。これは2階の微分方程式であって、 \begin{align} z \frac{ d^{2} \omega }{ d z^{2 } } + ( b - z ) \frac{d \omega }{d z } - a \omega = 0 \; \end{align} というような型である。
この方程式を変形させるために \begin{align} \omega = z^{ \frac{-b}{2 } } e^{ \frac{z}{2 } } \chi \; \\ a = \frac{1}{2} - \kappa + \mu \; , \quad b = 1 + 2 \mu \; \end{align} としてやる。これを合流型超幾何微分方程式に代入してやると、 \begin{align} \chi'' + \left( \frac{- \mu^{2 } + \frac{1}{4} }{z^{2 } } + \frac{\kappa }{z } - \frac{1}{4} \right) \chi = 0 \; \end{align} となる。これをウィットテーカーの標準形あるいはウィットテーカーの方程式と呼ぶ。また、ここではプライムの記号は \( z \) での微分を意味する。 \( \chi' = \frac{\partial \chi}{\partial z} \).
この方程式の解はウィットテーカー関数と呼ばれ、以下のような式で表される。 \begin{align} M_{\kappa, \mu} & = z^{\mu + \frac{1}{2} } e^{ - \frac{z}{2} } M(\mu + \frac{1}{2} - \kappa, 2 \mu + 1, z ) = z^{ \frac{b}{2} } e^{ - \frac{z}{2} } M(a,b; z ) \; , \\ W_{\kappa, \mu} & = z^{\mu + \frac{1}{2} } e^{ - \frac{z}{2} } U(\mu + \frac{1}{2} - \kappa, 2 \mu + 1, z ) = z^{ \frac{b}{2} } e^{ - \frac{z}{2} } U(a,b; z ) \; , \end{align} ここでは \( {\rm Arg}(z)\in (- \pi, \pi ] \)、でありパラメータは \( \kappa = \frac{b}{2} - a \; \; , \mu = \frac{ b - 1 }{2} \)と表される。
例として\( \kappa=1.0, \; \mu=3 \) と \( \kappa=2.0, \; \mu=4 \)　の場合のウィットテーカー方程式を解き、その中で\( M_{\kappa, \mu} (z) \)関数をグラフに示す。ここではヌメロフ法を使う。

解析値と数値解は近い値になっていることがわかる。 また、ウィットテーカー関数の\( M_{\kappa, \mu} (z) \)関数の一階導関数は \begin{align} \frac{\partial }{\partial z} M_{\kappa , \mu} (z) = \left( -\frac{1}{2} + \frac{\mu + \frac{1}{2} }{z} \right) M_{\kappa, \mu} (z) + e^{ - \frac{z}{2} } z^{\mu + \frac{1}{2 } } \frac{\mu + \frac{1}{2} - \kappa }{1 + 2 \mu} M ( \mu + \frac{1}{2} - \kappa + 1, 2 \mu + 1 + 1; z ) \; , \end{align} のようになる。ここではクンマーの合流型超幾何関数の微分の性質 \begin{align} \frac{\partial }{\partial z} M(a, b ; z ) = \frac{a}{b} M(a+1, b+1; z) \; \end{align} を使っている。

ここで、アダムス・バッシュフォース・モールトン法を使って\( \kappa=2.0 , \; \mu = 4.5 \) と \( \kappa=3.0, \; \mu=5.0 \)の場合のウィットテーカー関数を解いてやり、 \( M_{\kappa , \mu} \) 関数の数値解を求める。

するとグラフのようになり、ウィットテーカー関数の解析解と数値解が近い値になっていることがわかる。