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2016年8月24日水曜日

ウィットテーカー関数


合流型超幾何関数(confluent hypergeometric function)は合流型超幾何微分方程式の解である。これは2階の微分方程式であって、 zd2ωdz2+(bz)dωdzaω=0 というような型である。
この方程式を変形させるために ω=zb2ez2χa=12κ+μ,b=1+2μ としてやる。これを合流型超幾何微分方程式に代入してやると、 χ+(μ2+14z2+κz14)χ=0 となる。これをウィットテーカーの標準形あるいはウィットテーカーの方程式と呼ぶ。また、ここではプライムの記号は z での微分を意味する。 χ=χz.
この方程式の解はウィットテーカー関数と呼ばれ、以下のような式で表される。 Mκ,μ=zμ+12ez2M(μ+12κ,2μ+1,z)=zb2ez2M(a,b;z),Wκ,μ=zμ+12ez2U(μ+12κ,2μ+1,z)=zb2ez2U(a,b;z), ここでは Arg(z)(π,π]、でありパラメータは κ=b2a,μ=b12と表される。
例としてκ=1.0,μ=3κ=2.0,μ=4 の場合のウィットテーカー方程式を解き、その中でMκ,μ(z)関数をグラフに示す。ここではヌメロフ法を使う。


解析値と数値解は近い値になっていることがわかる。 また、ウィットテーカー関数のMκ,μ(z)関数の一階導関数は zMκ,μ(z)=(12+μ+12z)Mκ,μ(z)+ez2zμ+12μ+12κ1+2μM(μ+12κ+1,2μ+1+1;z), のようになる。ここではクンマーの合流型超幾何関数の微分の性質 zM(a,b;z)=abM(a+1,b+1;z) を使っている。

ここで、アダムス・バッシュフォース・モールトン法を使ってκ=2.0,μ=4.5κ=3.0,μ=5.0の場合のウィットテーカー関数を解いてやり、 Mκ,μ 関数の数値解を求める。


するとグラフのようになり、ウィットテーカー関数の解析解と数値解が近い値になっていることがわかる。

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