微分方程式を行列方程式に

まず正規直交関数$\lbrace \phi_{k} \rbrace^{\infty }_{k=1}$を考える。直交多項式は$k=0$から始まるのでほんのすこし面倒だが、ここでは正規直交関数の列を便宜的に$\phi_{k} \; , k=1,2,3 \ldots$とする。 例えば、正規直交型のルジャンドル多項式は $$\begin{align} \phi_{k}(z) = \sqrt{ \frac{2k -1}{2} } P_{k-1} (z) \end{align}$$ などとして取り扱えば良い。このような正規直交型の関数を使って関数を展開する。例えば、基底の数をnとすると $$\begin{align} F(z) = \sum^{n}_{k=1} c_{k} \phi_{k} (z) \end{align}$$ といった感じだ。

ここでは正規直交化された一般ラゲール関数$\phi^{(\alpha)}_{n}(z) = \sqrt{ \frac{n!}{(n + \alpha)!} } z^{ \frac{\alpha }{2} } e^{ - \frac{z}{2} } L^{(\alpha ) }_{n } (z)$ を例にとって、その1階、2階微分を計算すると $$\begin{align} \frac{\partial \phi^{(\alpha ) }_{n } (z) }{\partial z} & = \sqrt{ \frac{n!}{(n + \alpha)!} } \left[ \left( \frac{\alpha }{2z} - \frac{1 }{2 } \right) e^{ \frac{\alpha }{2} \log{z} - \frac{z}{2} } L^{(\alpha ) }_{n} ( z ) + e^{ \frac{\alpha }{2} \log{z} - \frac{z}{2} } (-1 ) L^{(\alpha +1 ) }_{n-1} (z) \right] \\ \frac{\partial^{2} \phi^{(\alpha ) }_{n } (z) }{\partial z^{2} } & = \sqrt{ \frac{n!}{(n + \alpha)!} } \left[ \left\lbrace - \frac{\alpha }{2z^{2}} + \left( \frac{\alpha }{2z} - \frac{1}{2} \right)^{2} \right\rbrace e^{ \frac{\alpha}{2} \log{z} - \frac{z}{2} } L^{(\alpha ) }_{n} (z) + \left( - \frac{\alpha }{z } + 1 \right) e^{ \frac{\alpha}{2} \log{z} - \frac{z}{2} } L^{(\alpha +1) }_{n-1} (z) + e^{ \frac{\alpha}{2} \log{z} - \frac{z}{2} } L^{ ( \alpha + 2 ) }_{ n - 2 } (z) \right] \end{align}$$ ここで2階の微分方程式のための演算子を$\hat{L}$とでも書くと、その斉次微分方程式は $$\begin{align} \hat{L} F = E F \end{align}$$ というようになる。 Fを展開して $$\begin{align} \hat{L} F = A_{2} \frac{\partial^{2} F }{\partial z^{2} } + A_{1} \frac{\partial F }{\partial z } + A_{0} F = \sum_{k} \hat{L} c_{k} \phi_{k} = E \sum_{k} c_{k} \phi_{k} \end{align}$$ といったようになる。この演算子の行列要素を、 $$\begin{align} L_{jk} = \int \phi^{*}_{j} \hat{L } \phi_{k} dz \end{align}$$ といった感じで定義する。 よって行列方程式のj行目は $$\begin{align} \sum^{n}_{k=1} L_{j k } c_{k} = E c_{j} \; , \quad (j=1,2, \ldots , n) \end{align}$$ となって連立方程式を解くことになる。基底の数 n と連立方程式の数は同じである。