めいろまさんがプログレッシブになったかもしれない

最近は何かめいろまさんがプログレッシブになってきたような感じがします。少なくともヒラリー・クリントンよりははるかにプログレッシブです。

めいろまさんのお話
先日NHKのニュース内 で、「子どもの貧困」と特集したコーナーに貧困に悩む女子高生が実名で登場した件が大炎上した上に延焼しています。 この女子高生さんは、子供の貧困問題を議論する会合でスピーチをするなど、しっかりした人です。しかし、放送中に写った自宅に物がたくさんあったり、ツイッターで普段の生活をツイートした所、漫画本を買っていたり、コンサートにいっていたことがわかり、ネット民から「本当は貧乏じゃないんじゃないの？」と責められて、個人情報を晒されるなどの嫌がらせにあっています。その上国会議員の片山さつき氏までしゃしゃり出てきて、NHKに「あの子貧乏なの？？」と質問するという状況になっています。

三番目。恐ろしいと感じたのは、国会議員の片山さつき氏が、この騒動に乗り込んできて、NHKと女子高生叩きに参加したことです。 皆さんご存知時の通り、片山氏は親が学者という 恵まれた家庭に育ち、日本の最高学府をトップの成績で出て、官庁のトップである財務省の官僚をやり、回転寿司が大好きな舛添氏と結婚し、国会議員として大活躍している、日本のエリートのトップ中のトップの人材です。 そういう人が、単なる一般人の、しかも子供である女子高生叩きに参加し、その根拠が、ネットに転がっていた憶測や嫌がらせだった、しかも、事実確認も何もしていないというところに、大変な恐怖を感じました。

さらに不思議なのは「やんごとなき階層」出身の片山氏には、ノブレス・オブリージュ的なものがまったくないことです。通常、こういう階層の人達というのは、幼少の頃から「やんごとなき人」のシツケを受けています。 運良く金持ちに生まれ、コネや機会に恵まれたのだから、義務を果たしましょう、立派な人になりましょう、我慢しましょう、社会に奉仕しましょう、というシツケです。 ノブレス・オブリージュなシツケ的には、自分より恵まれていない階層を叩くのはあり得ないことです。なぜならフェアではないからです。自分が教育を受けられたり、良い仕事にありつけたのは、実家の支援や生まれた場所も関係ある、つまり運でありますから、たまたま運のなかった人を叩くのは、畜生道です。

しかし、どうも最近の日本のエリートというのは、片山氏の様に「エンパシー」の欠けた人達が多いようです。幼少時から延々と計算問題や穴埋めクイズをやり、人様を蹴落とすことしか学ばなかったのでしょう彼らにとっては運の悪かった人達は競争に落ちぶれた民ですから、自分が面倒を見る対象でもなんでもありません。 こういう人達が年金、介護、医療、原発、金融政策、そういうことを決めています。だから、障碍者の手当は削減され、介護の自己負担は増え、保育所は増えないのです。配偶者控除だって削減です。ブラック企業は制裁を受けず、非正規と正規社員の格差は放置されています。
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めいろまさんとはあまり意見は合いませんが、最近のめいろまさんには社会的な弱者をかばい守るような発言がみられるような感じがします。
片山さつきがダメな人間であるという点にも同意できますね。貧困という苦労を経験したことがない片山が、貧困で苦しんでいる女子を叩く構図。こんな奴がエリート面して財務省官僚から良識の府の国会議員となって、マクロ経済の基本的な知識すら皆無でありながら、経済政策に口を出し、消費税増税を主張しているわけです。

片山は郵政民営化の衆議院選挙でのしあがってきたわけであるから、郵政民営化がどれだけ日本経済に影響を与えたかを総括するべきだが、片山はそれをやっていない。

というか総括できるだけの経済知識も持ち合わせていません。 片山だけを見ても日本のエリートには相当な問題があると思います。この日本のエリート達がゆとり教育を推進し教育を崩壊させ、消費税増税で日本経済を沈没寸前に追い込み、構造改革をやって労働者や組合の環境をどんどん悪化させていくんですね。

「片山は生活保護不正受給者を叩いている暇があったらもっとマクロ経済くらいは勉強するべきであるし、小泉が言っていた郵政の350兆円があればわざわざ生活保護を叩く必要もなかろう」

と言いたくなります。

微分方程式を行列方程式に

まず正規直交関数\( \lbrace \phi_{k} \rbrace^{\infty }_{k=1} \)を考える。直交多項式は\( k=0 \)から始まるのでほんのすこし面倒だが、ここでは正規直交関数の列を便宜的に\( \phi_{k} \; , k=1,2,3 \ldots \)とする。 例えば、正規直交型のルジャンドル多項式は \begin{align} \phi_{k}(z) = \sqrt{ \frac{2k -1}{2} } P_{k-1} (z) \end{align} などとして取り扱えば良い。このような正規直交型の関数を使って関数を展開する。例えば、基底の数をnとすると \begin{align} F(z) = \sum^{n}_{k=1} c_{k} \phi_{k} (z) \end{align} といった感じだ。

ここでは正規直交化された一般ラゲール関数\( \phi^{(\alpha)}_{n}(z) = \sqrt{ \frac{n!}{(n + \alpha)!} } z^{ \frac{\alpha }{2} } e^{ - \frac{z}{2} } L^{(\alpha ) }_{n } (z) \) を例にとって、その1階、2階微分を計算すると \begin{align} \frac{\partial \phi^{(\alpha ) }_{n } (z) }{\partial z} & = \sqrt{ \frac{n!}{(n + \alpha)!} } \left[ \left( \frac{\alpha }{2z} - \frac{1 }{2 } \right) e^{ \frac{\alpha }{2} \log{z} - \frac{z}{2} } L^{(\alpha ) }_{n} ( z ) + e^{ \frac{\alpha }{2} \log{z} - \frac{z}{2} } (-1 ) L^{(\alpha +1 ) }_{n-1} (z) \right] \\ \frac{\partial^{2} \phi^{(\alpha ) }_{n } (z) }{\partial z^{2} } & = \sqrt{ \frac{n!}{(n + \alpha)!} } \left[ \left\lbrace - \frac{\alpha }{2z^{2}} + \left( \frac{\alpha }{2z} - \frac{1}{2} \right)^{2} \right\rbrace e^{ \frac{\alpha}{2} \log{z} - \frac{z}{2} } L^{(\alpha ) }_{n} (z) + \left( - \frac{\alpha }{z } + 1 \right) e^{ \frac{\alpha}{2} \log{z} - \frac{z}{2} } L^{(\alpha +1) }_{n-1} (z) + e^{ \frac{\alpha}{2} \log{z} - \frac{z}{2} } L^{ ( \alpha + 2 ) }_{ n - 2 } (z) \right] \end{align} ここで2階の微分方程式のための演算子を\( \hat{L} \)とでも書くと、その斉次微分方程式は \begin{align} \hat{L} F = E F \end{align} というようになる。 Fを展開して \begin{align} \hat{L} F = A_{2} \frac{\partial^{2} F }{\partial z^{2} } + A_{1} \frac{\partial F }{\partial z } + A_{0} F = \sum_{k} \hat{L} c_{k} \phi_{k} = E \sum_{k} c_{k} \phi_{k} \end{align} といったようになる。この演算子の行列要素を、 \begin{align} L_{jk} = \int \phi^{*}_{j} \hat{L } \phi_{k} dz \end{align} といった感じで定義する。 よって行列方程式のj行目は \begin{align} \sum^{n}_{k=1} L_{j k } c_{k} = E c_{j} \; , \quad (j=1,2, \ldots , n) \end{align} となって連立方程式を解くことになる。基底の数 n と連立方程式の数は同じである。

接続法は実用的ではなさそう

シュレディンガー方程式を数値的に解いて固有値を得ようとするときに、前方・後方からRK4などを使って解いてとある接続点で接続させるという手法は実用的ではないという印象です。 二階の微分方程式のうち、他方の余分な解数値解が入ってきて、解が接続点に依存しがちなことが問題だなあという感じです。

時間非依存シュレディンガー方程式を行列形式に書き換えることもでき、この方が実用的かもしれない。
ある状態関数\( | \psi \rangle \)がヒルベルト空間に属しているならば、その空間の正規直交基底で展開できるので、\( | \psi \rangle = \sum_{k} c_{k} | k \rangle \)となる。時間非依存のシュレディンガー方程式は、 \begin{align} H | \psi \rangle = E | \psi\rangle \; , \quad \rightarrow H \sum_{k} c_{k} | k \rangle = E \sum_{k} c_{k } | k \rangle \end{align} となる。 ここで \( \hat{1} = \sum_{m} | m \rangle \langle m | \)であるから \begin{align} \hat{1} H \sum_{k} c_{k} | k \rangle = E \sum_{k} c_{k } | k \rangle \; , \quad \rightarrow \sum_{m, k} \langle m | H | k \rangle c_{k} | m \rangle = E \sum_{k} c_{k } | k \rangle \end{align} となる。ここで \( \langle m | H | k \rangle = H_{mk} \)とすると \begin{align} \sum_{m, k} H_{mk} c_{k} | m \rangle = E \sum_{k} c_{k } | k \rangle \end{align} となり、左から \( | j \rangle \)を作用させると、\( \langle j | m \rangle = \delta_{jm} \)であるので、 \begin{align} \sum_{k} H_{jk} c_{k} = E c_{j} \; , \quad \rightarrow {\bf H} {\bf c} = E {\bf c} \end{align} を得る。ここでは\( {\bf H} \)は行列、\( {\bf c} \)は列ベクトルである。
これは行列の固有値問題になります。あとはこれを解くだけで固有値が求まります。

関数を直交関数で展開する時に、指数関数の近似があまり良くないことはしばしばなのではと思います。\( e^{ -\frac{z}{2} } \left( z^{2} - 2 z +2 \right) \)を正規直交型の一般ラゲール関数 \begin{align} \sqrt{ \frac{n!}{ (\alpha + n) ! } } z^{ \frac{\alpha }{2} } e^{ - \frac{z }{2} } L^{(\alpha )}_{n} (z) \end{align} で展開してやるとグラフのようになります。ここでは\( \alpha=1 \)で計算しています。左が自然スケールで右が対数スケールです。右のグラフでは関数の絶対値をとっています。グラフにみられる#BFsというのは基底関数の数です。

基底関数の数が上がれば近時の精度は上がりますが、zの値が大きい領域ではむしろ基底関数の数が少ないほうが精度がよいというような感じになっています。これは当然の話しで、一般ラゲール多項式\( L^{(\alpha ) }_{n} (z) \)のもっとも優位な項は \( z^{n} \)ですから、正規直交化させたラゲール関数のもっとも優位な項は \begin{align} \sqrt{ \frac{ 1 }{ n! (\alpha + n) ! } } (-1)^{n} z^{\frac{\alpha }{2} } e^{- \frac{z}{2} } z^{n} \end{align} となります。基底関数の数が上がるほどnの値が大きくなるので、\( e^{- \frac{z}{2} } \)との差は大きくなります。元の関数は\( e^{ -\frac{z}{2} } \left( z^{2} - 2 z +2 \right) \)だったので、zがかなり大きい領域では基底の数が上がるほど、近似関数と元の関数との差が大きくなります。

ウィットテーカー関数

合流型超幾何関数(confluent hypergeometric function)は合流型超幾何微分方程式の解である。これは2階の微分方程式であって、 \begin{align} z \frac{ d^{2} \omega }{ d z^{2 } } + ( b - z ) \frac{d \omega }{d z } - a \omega = 0 \; \end{align} というような型である。
この方程式を変形させるために \begin{align} \omega = z^{ \frac{-b}{2 } } e^{ \frac{z}{2 } } \chi \; \\ a = \frac{1}{2} - \kappa + \mu \; , \quad b = 1 + 2 \mu \; \end{align} としてやる。これを合流型超幾何微分方程式に代入してやると、 \begin{align} \chi'' + \left( \frac{- \mu^{2 } + \frac{1}{4} }{z^{2 } } + \frac{\kappa }{z } - \frac{1}{4} \right) \chi = 0 \; \end{align} となる。これをウィットテーカーの標準形あるいはウィットテーカーの方程式と呼ぶ。また、ここではプライムの記号は \( z \) での微分を意味する。 \( \chi' = \frac{\partial \chi}{\partial z} \).
この方程式の解はウィットテーカー関数と呼ばれ、以下のような式で表される。 \begin{align} M_{\kappa, \mu} & = z^{\mu + \frac{1}{2} } e^{ - \frac{z}{2} } M(\mu + \frac{1}{2} - \kappa, 2 \mu + 1, z ) = z^{ \frac{b}{2} } e^{ - \frac{z}{2} } M(a,b; z ) \; , \\ W_{\kappa, \mu} & = z^{\mu + \frac{1}{2} } e^{ - \frac{z}{2} } U(\mu + \frac{1}{2} - \kappa, 2 \mu + 1, z ) = z^{ \frac{b}{2} } e^{ - \frac{z}{2} } U(a,b; z ) \; , \end{align} ここでは \( {\rm Arg}(z)\in (- \pi, \pi ] \)、でありパラメータは \( \kappa = \frac{b}{2} - a \; \; , \mu = \frac{ b - 1 }{2} \)と表される。
例として\( \kappa=1.0, \; \mu=3 \) と \( \kappa=2.0, \; \mu=4 \)　の場合のウィットテーカー方程式を解き、その中で\( M_{\kappa, \mu} (z) \)関数をグラフに示す。ここではヌメロフ法を使う。

解析値と数値解は近い値になっていることがわかる。 また、ウィットテーカー関数の\( M_{\kappa, \mu} (z) \)関数の一階導関数は \begin{align} \frac{\partial }{\partial z} M_{\kappa , \mu} (z) = \left( -\frac{1}{2} + \frac{\mu + \frac{1}{2} }{z} \right) M_{\kappa, \mu} (z) + e^{ - \frac{z}{2} } z^{\mu + \frac{1}{2 } } \frac{\mu + \frac{1}{2} - \kappa }{1 + 2 \mu} M ( \mu + \frac{1}{2} - \kappa + 1, 2 \mu + 1 + 1; z ) \; , \end{align} のようになる。ここではクンマーの合流型超幾何関数の微分の性質 \begin{align} \frac{\partial }{\partial z} M(a, b ; z ) = \frac{a}{b} M(a+1, b+1; z) \; \end{align} を使っている。

ここで、アダムス・バッシュフォース・モールトン法を使って\( \kappa=2.0 , \; \mu = 4.5 \) と \( \kappa=3.0, \; \mu=5.0 \)の場合のウィットテーカー関数を解いてやり、 \( M_{\kappa , \mu} \) 関数の数値解を求める。

するとグラフのようになり、ウィットテーカー関数の解析解と数値解が近い値になっていることがわかる。

ヌメロフ法

\( y''(z) = P(z) = g(z) y(z) \)というようなタイプの微分方程式の数値解を得ようとする時には、ヌメロフ法が便利だと思う。

ヌメロフ法の簡単な説明としては、まずテイラー展開で \begin{align} y_{n+1} + y_{n-1} - 2 y_{n} = \frac{2}{2!} y''(z) h^{2} + \frac{2}{4!} y''''(z) h^{4} + \mathcal{O}(h^{6}) \; , \end{align} とする。 \( y_{n+1} = y(z+h), \; y_{n-1} = y(z-h) \)
そして\( y''''(z) \)については、 \( y''(z) = P(z) \)であることを使って、 \begin{align} P_{n+1} + P_{n-1} - 2 P_{n} = \frac{2}{2!} P''(z) h^{2} + \mathcal{O}(h^{4} ) \; , \\ h^{2} y''''(z) = h^{2} P''(z) = P_{n+1} + P_{n-1} - 2P_{n} - \mathcal{O}(h^{4 } ) \; , \end{align} となることがわかる。それを利用して、 \begin{align} y_{n+1} + y_{n-1} - 2 y_{n} & = P_{n} h^{2} + \frac{ 2 h^{2} }{4! } \left( P_{n+1} + P_{n-1} - 2P_{n} - \mathcal{O}(h^{4 } ) \right) + \mathcal{O}(h^{6 } ) \; , \\ & = \frac{h^{2} }{12 } P_{n+1} + \frac{5h^{2}}{6} P_{n} + \frac{h^{2}}{12 } P_{n-1} + \mathcal{O}(h^{6} ) \; \end{align} となることがわかる。よって、 \begin{align} \left( 1 - \frac{h^{2} }{12} g_{n+1} \right) y_{n+1} + \left( 1 - \frac{h^{2} }{12} g_{n-1} \right) y_{n-1} = \left( 2 - \frac{5 h^{2 } }{6 } g_{n} \right) y_{n} + \mathcal{O}(h^{6} ) \; \end{align} を得る。これがヌメロフ法である。

ヌメロフ法を使ってこの手の微分方程式を解いてみる。 \begin{align} \frac{d^{2} \chi_{n} }{d z^{2}} + \left( \frac{ - \frac{\alpha^{2} }{4} + \frac{1}{4} }{z^{2} } + \frac{ n + \frac{\alpha}{2} + \frac{1 }{2} }{z} - \frac{1}{4} \right) \chi_{n} = 0 \; \end{align} といった方程式はどうだろう。この解析解は \begin{align} \chi_{n } (z) = z^{ \frac{\alpha + 1}{2} } e^{ \frac{-z}{2} } L^{(\alpha ) }_{n } (z) \end{align} である。
例として、 \( \alpha=1.0 \; , \; N=2 \)と \( \alpha=2.5 \; , N=3 \), \( \alpha=4.5, \; N=5 \), \( \alpha=5, \; N=7 \) の場合では、

\( \alpha=1.0, \; N=10 \)　と　\( \alpha=1.0, \; N=20 \)の場合は

のようになり、Nが大きくなるほど収束は遅くなることがわかる。
全体的に解析解と数値解はかなり近い値となっている。計算速度もかなり速かったと思う。