微分方程式を行列方程式に

まず正規直交関数\( \lbrace \phi_{k} \rbrace^{\infty }_{k=1} \)を考える。直交多項式は\( k=0 \)から始まるのでほんのすこし面倒だが、ここでは正規直交関数の列を便宜的に\( \phi_{k} \; , k=1,2,3 \ldots \)とする。 例えば、正規直交型のルジャンドル多項式は \begin{align} \phi_{k}(z) = \sqrt{ \frac{2k -1}{2} } P_{k-1} (z) \end{align} などとして取り扱えば良い。このような正規直交型の関数を使って関数を展開する。例えば、基底の数をnとすると \begin{align} F(z) = \sum^{n}_{k=1} c_{k} \phi_{k} (z) \end{align} といった感じだ。

ここでは正規直交化された一般ラゲール関数\( \phi^{(\alpha)}_{n}(z) = \sqrt{ \frac{n!}{(n + \alpha)!} } z^{ \frac{\alpha }{2} } e^{ - \frac{z}{2} } L^{(\alpha ) }_{n } (z) \) を例にとって、その1階、2階微分を計算すると \begin{align} \frac{\partial \phi^{(\alpha ) }_{n } (z) }{\partial z} & = \sqrt{ \frac{n!}{(n + \alpha)!} } \left[ \left( \frac{\alpha }{2z} - \frac{1 }{2 } \right) e^{ \frac{\alpha }{2} \log{z} - \frac{z}{2} } L^{(\alpha ) }_{n} ( z ) + e^{ \frac{\alpha }{2} \log{z} - \frac{z}{2} } (-1 ) L^{(\alpha +1 ) }_{n-1} (z) \right] \\ \frac{\partial^{2} \phi^{(\alpha ) }_{n } (z) }{\partial z^{2} } & = \sqrt{ \frac{n!}{(n + \alpha)!} } \left[ \left\lbrace - \frac{\alpha }{2z^{2}} + \left( \frac{\alpha }{2z} - \frac{1}{2} \right)^{2} \right\rbrace e^{ \frac{\alpha}{2} \log{z} - \frac{z}{2} } L^{(\alpha ) }_{n} (z) + \left( - \frac{\alpha }{z } + 1 \right) e^{ \frac{\alpha}{2} \log{z} - \frac{z}{2} } L^{(\alpha +1) }_{n-1} (z) + e^{ \frac{\alpha}{2} \log{z} - \frac{z}{2} } L^{ ( \alpha + 2 ) }_{ n - 2 } (z) \right] \end{align} ここで2階の微分方程式のための演算子を\( \hat{L} \)とでも書くと、その斉次微分方程式は \begin{align} \hat{L} F = E F \end{align} というようになる。 Fを展開して \begin{align} \hat{L} F = A_{2} \frac{\partial^{2} F }{\partial z^{2} } + A_{1} \frac{\partial F }{\partial z } + A_{0} F = \sum_{k} \hat{L} c_{k} \phi_{k} = E \sum_{k} c_{k} \phi_{k} \end{align} といったようになる。この演算子の行列要素を、 \begin{align} L_{jk} = \int \phi^{*}_{j} \hat{L } \phi_{k} dz \end{align} といった感じで定義する。 よって行列方程式のj行目は \begin{align} \sum^{n}_{k=1} L_{j k } c_{k} = E c_{j} \; , \quad (j=1,2, \ldots , n) \end{align} となって連立方程式を解くことになる。基底の数 n と連立方程式の数は同じである。

接続法は実用的ではなさそう

シュレディンガー方程式を数値的に解いて固有値を得ようとするときに、前方・後方からRK4などを使って解いてとある接続点で接続させるという手法は実用的ではないという印象です。 二階の微分方程式のうち、他方の余分な解数値解が入ってきて、解が接続点に依存しがちなことが問題だなあという感じです。

時間非依存シュレディンガー方程式を行列形式に書き換えることもでき、この方が実用的かもしれない。
ある状態関数\( | \psi \rangle \)がヒルベルト空間に属しているならば、その空間の正規直交基底で展開できるので、\( | \psi \rangle = \sum_{k} c_{k} | k \rangle \)となる。時間非依存のシュレディンガー方程式は、 \begin{align} H | \psi \rangle = E | \psi\rangle \; , \quad \rightarrow H \sum_{k} c_{k} | k \rangle = E \sum_{k} c_{k } | k \rangle \end{align} となる。 ここで \( \hat{1} = \sum_{m} | m \rangle \langle m | \)であるから \begin{align} \hat{1} H \sum_{k} c_{k} | k \rangle = E \sum_{k} c_{k } | k \rangle \; , \quad \rightarrow \sum_{m, k} \langle m | H | k \rangle c_{k} | m \rangle = E \sum_{k} c_{k } | k \rangle \end{align} となる。ここで \( \langle m | H | k \rangle = H_{mk} \)とすると \begin{align} \sum_{m, k} H_{mk} c_{k} | m \rangle = E \sum_{k} c_{k } | k \rangle \end{align} となり、左から \( | j \rangle \)を作用させると、\( \langle j | m \rangle = \delta_{jm} \)であるので、 \begin{align} \sum_{k} H_{jk} c_{k} = E c_{j} \; , \quad \rightarrow {\bf H} {\bf c} = E {\bf c} \end{align} を得る。ここでは\( {\bf H} \)は行列、\( {\bf c} \)は列ベクトルである。
これは行列の固有値問題になります。あとはこれを解くだけで固有値が求まります。

関数を直交関数で展開する時に、指数関数の近似があまり良くないことはしばしばなのではと思います。\( e^{ -\frac{z}{2} } \left( z^{2} - 2 z +2 \right) \)を正規直交型の一般ラゲール関数 \begin{align} \sqrt{ \frac{n!}{ (\alpha + n) ! } } z^{ \frac{\alpha }{2} } e^{ - \frac{z }{2} } L^{(\alpha )}_{n} (z) \end{align} で展開してやるとグラフのようになります。ここでは\( \alpha=1 \)で計算しています。左が自然スケールで右が対数スケールです。右のグラフでは関数の絶対値をとっています。グラフにみられる#BFsというのは基底関数の数です。

基底関数の数が上がれば近時の精度は上がりますが、zの値が大きい領域ではむしろ基底関数の数が少ないほうが精度がよいというような感じになっています。これは当然の話しで、一般ラゲール多項式\( L^{(\alpha ) }_{n} (z) \)のもっとも優位な項は \( z^{n} \)ですから、正規直交化させたラゲール関数のもっとも優位な項は \begin{align} \sqrt{ \frac{ 1 }{ n! (\alpha + n) ! } } (-1)^{n} z^{\frac{\alpha }{2} } e^{- \frac{z}{2} } z^{n} \end{align} となります。基底関数の数が上がるほどnの値が大きくなるので、\( e^{- \frac{z}{2} } \)との差は大きくなります。元の関数は\( e^{ -\frac{z}{2} } \left( z^{2} - 2 z +2 \right) \)だったので、zがかなり大きい領域では基底の数が上がるほど、近似関数と元の関数との差が大きくなります。

東京都知事選とこじたけん

この図では、銀行の資産部分より左が日銀ネットにつながるマネタリーベース界、右がマネーサプライ界ね。図は財政出動を示しているが、下から上におカネが動けば納税を示す。市中銀行部分に、見えないが超えられないお金の壁がある。 pic.twitter.com/9wp3Y7MkbI

— シェイブテイル (@shavetail) 20 August 2016

Kojitaken氏の東京都知事選の分析記事をみたが、わかってないなという印象だ。 小池がダメなのはわかるが、その他の候補者がさらにダメだったというだけの話だ。 小池百合子の正体と小池に投票した左翼・左派・リベラルの「病理」 今回の東京都知事選及びそれに当選した小池百合子については、下記のさとうしゅういち氏のエントリ2件に示された分析が妥当だと私は考えている。 今回の東京都知事選挙は、はっきり申し上げて、以下のように総括できます。 やっとのことで、民進党から共産党まで乗れる候補者を擁立するには擁立した。 しかし、候補者の擁立だけで精一杯だった。 政策や、候補者決定の透明性が不十分なまま公示を迎えた。 こうしたことも背景に「右側」連合東京は鳥越候補を推薦せず、「左側」の宇都宮健児陣営も鳥越応援でまとまらず、小池候補に一部支持が流れた。 このため、鳥越候補は前回の宇都宮健児さんの票は上回ったものの、宇都宮＋細川の合計票を大きく下回った。 小池候補は、先手必勝でかなり準備をしていたと考えられる。実質的には、小池候補が大きく先行し、そのまま逃げ切る選挙戦だった。 清新イメージをうまく醸しだし、左翼票の一部も切り崩す形で大勝した。翼賛選挙での四王天延孝中将の全国最高点での当選を彷彿とさせた。 蛇足ながらつけ加えると、小池百合子は政治思想面でも、2000年に現行憲法停止を主張して石原慎太郎と意気投合し*1、2003年には日本の核兵器保有を場合によっては認めても良いと毎日新聞のアンケート（「えらぼーと」の前身と思われる）と答え*2、2003年には月刊誌『Voice』で日本の核武装に関して極右の田久保忠衛及び西岡力との鼎談で「東京に核ミサイルを配備しよう」とブチ上げる*3など、筋金入りの極右である。 つまり、小池百合子とは筋金入りの新自由主義者にして筋金入りの極右政治家にほかならないのであって、左翼、左派、リベラルのいずれかを自認する人間であれば絶対に投票してはならない候補だ。だから、政治勢力のうちどのくらいの人たちが都知事選で小池百合子に投票したかが政治勢力の理非を測る尺度になり得ると私は考えている。 共同通信（他の多くのメディアの協力を得て行ったと思われる）の出口調査によると、共産党支持者の17%、社民党支持者の18%がそれぞれ小池百合子に投票した。これは、39%が小池百合子に投票した民進党支持者や、この記事の末尾に示す東京新聞の記事を参照すると民進党と同じくらいの比率しか鳥越票を確保できなかったという生活の党と山本太郎となかまたち支持者と比較して、共産党や社民党の支持者の方に理があることを示している。 前回の都知事選で宇都宮健児に投票した人は、同じ共同通信の調査で29%が小池百合子に投票している。これは、民進党や生活の党よりはマシだが、共産党や社民党と比較してはるかに悪いスコアだ。 宇都宮健児支持者の中には、共産党や社民党だけではなく、民進党や生活の党の支持者も少なからずいるであろうから、両政治勢力の中間であって当然だと思われるかもしれないが、少なくとも、宇都宮健児支持者の集団は、東京都の全有権者と比較して、政治的識見の高低において特に優れているわけではなく似たり寄ったりであるとは断言できる。少しでも真面目にものを考える（括弧の有無を問わない）左翼、左派、リベラルであるなら、「小池百合子にだけは絶対に投票しない」などというのは最低でも満たさなければならない必要条件であると私は確信するからだ。 今回の都知事選では、これまで共産党を批判したことなど一度も見たことがない人たちが、激烈な言葉で共産党を非難する例をちらほら見かけた。今回の「野党共闘」の候補者選びには大いに問題があったことや、鳥越俊太郎が物足りない（ある人たちにとっては許せない）候補であったことは事実だ。しかし、自陣が「野党共闘」に加わった共産党や社民党の支持者の集合と比較して、有意差のある高い比率で小池百合子への流出を招いたことを批判せずして今後の前進はあり得ない。その点で宇都宮健児支持者たちの自己認識は甘過ぎるし、支持者たちも、それに何よりも（以前から組織内においてファッショ的な性格があるとの批判を受けてきた）宇都宮選対もあまりに自分たちに甘過ぎると思うのである。 「きまぐれな日々」に、かつて2005年の郵政総選挙の結果に危機感を抱いてブログを始めたはずなのに、今ではその小泉郵政選挙を再現したとしか言いようがない小池百合子に対して「大甘」としか思われない記事*4を書くようになったブログ『日本がアブナイ！』や、今や政治への影響力をほとんど失った小沢一郎なんかを叩くのは止めて、巨悪を叩けなどと書いてきたコメントがあったが、安倍晋三への悪口などネットでもう10年以上書き続けている（安倍晋三が初めて総理大臣になる直前の10年前に、私は「AbEnd」なる造語を編み出し、「安倍晋三を終わりにする」などというスローガンを掲げていた）。その経験から、「下々」の人間の一人一人がいくら安倍晋三や橋下徹や石原慎太郎らの悪口を書いたところで、リーダーたちがしっかりしていなければどうしようもないことを痛感している。その観点からいえば、自陣営から29%もの人間が小池百合子に投票したことに何の問題も感じず、自己批判も政治勢力内での相互批判もできないような政治勢力には、その体質が改められない限り何も期待できないし、その体質に対して「下々」の人間は強い批判の矢を放たなければならないと私は確信している。もっともしっかりしてもらわなければ困る人たちが全くしっかりしていないから私は激怒しているのだ。民進右派だの連合だの、前回細川護煕に投票した人たちだの、ましてや自公支持者やネトウヨどもなどには期待するところなど何もないから、彼らに対する批判が宇都宮支持者や宇都宮選対の責任者たちへの批判よりもトーンが弱くなるだけの話である。 なお、上記コメントをいただいた方の他ブログにおけるコメントを私が誤読して筋違いな文章を書いたとのご指摘だったので、それに対しては遺憾の意を表明する。

ウィットテーカー関数

合流型超幾何関数(confluent hypergeometric function)は合流型超幾何微分方程式の解である。これは2階の微分方程式であって、 \begin{align} z \frac{ d^{2} \omega }{ d z^{2 } } + ( b - z ) \frac{d \omega }{d z } - a \omega = 0 \; \end{align} というような型である。
この方程式を変形させるために \begin{align} \omega = z^{ \frac{-b}{2 } } e^{ \frac{z}{2 } } \chi \; \\ a = \frac{1}{2} - \kappa + \mu \; , \quad b = 1 + 2 \mu \; \end{align} としてやる。これを合流型超幾何微分方程式に代入してやると、 \begin{align} \chi'' + \left( \frac{- \mu^{2 } + \frac{1}{4} }{z^{2 } } + \frac{\kappa }{z } - \frac{1}{4} \right) \chi = 0 \; \end{align} となる。これをウィットテーカーの標準形あるいはウィットテーカーの方程式と呼ぶ。また、ここではプライムの記号は \( z \) での微分を意味する。 \( \chi' = \frac{\partial \chi}{\partial z} \).
この方程式の解はウィットテーカー関数と呼ばれ、以下のような式で表される。 \begin{align} M_{\kappa, \mu} & = z^{\mu + \frac{1}{2} } e^{ - \frac{z}{2} } M(\mu + \frac{1}{2} - \kappa, 2 \mu + 1, z ) = z^{ \frac{b}{2} } e^{ - \frac{z}{2} } M(a,b; z ) \; , \\ W_{\kappa, \mu} & = z^{\mu + \frac{1}{2} } e^{ - \frac{z}{2} } U(\mu + \frac{1}{2} - \kappa, 2 \mu + 1, z ) = z^{ \frac{b}{2} } e^{ - \frac{z}{2} } U(a,b; z ) \; , \end{align} ここでは \( {\rm Arg}(z)\in (- \pi, \pi ] \)、でありパラメータは \( \kappa = \frac{b}{2} - a \; \; , \mu = \frac{ b - 1 }{2} \)と表される。
例として\( \kappa=1.0, \; \mu=3 \) と \( \kappa=2.0, \; \mu=4 \)　の場合のウィットテーカー方程式を解き、その中で\( M_{\kappa, \mu} (z) \)関数をグラフに示す。ここではヌメロフ法を使う。

解析値と数値解は近い値になっていることがわかる。 また、ウィットテーカー関数の\( M_{\kappa, \mu} (z) \)関数の一階導関数は \begin{align} \frac{\partial }{\partial z} M_{\kappa , \mu} (z) = \left( -\frac{1}{2} + \frac{\mu + \frac{1}{2} }{z} \right) M_{\kappa, \mu} (z) + e^{ - \frac{z}{2} } z^{\mu + \frac{1}{2 } } \frac{\mu + \frac{1}{2} - \kappa }{1 + 2 \mu} M ( \mu + \frac{1}{2} - \kappa + 1, 2 \mu + 1 + 1; z ) \; , \end{align} のようになる。ここではクンマーの合流型超幾何関数の微分の性質 \begin{align} \frac{\partial }{\partial z} M(a, b ; z ) = \frac{a}{b} M(a+1, b+1; z) \; \end{align} を使っている。

ここで、アダムス・バッシュフォース・モールトン法を使って\( \kappa=2.0 , \; \mu = 4.5 \) と \( \kappa=3.0, \; \mu=5.0 \)の場合のウィットテーカー関数を解いてやり、 \( M_{\kappa , \mu} \) 関数の数値解を求める。

するとグラフのようになり、ウィットテーカー関数の解析解と数値解が近い値になっていることがわかる。

Dirac equations (5)

In the Dirac representation (the standard representation) \begin{align} \alpha^{i } = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^{i } \\ \sigma^{i} & 0 \end{pmatrix} \; , \quad \beta = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \; , \quad \pmb{\gamma } = \begin{pmatrix} 0 & \pmb{\sigma} \\ - \pmb{\sigma } & 0 \end{pmatrix} \end{align} and the boost a frame in the \( {\bf n} \) direction, \begin{align} S( \Lambda ) = \cosh{ \frac{\varphi}{2} } I - \pmb{\alpha } \cdot {\bf n} \sinh{ \frac{ \varphi }{2} } \end{align} Then making use of \( \cosh{ \varphi } = \gamma = \frac{\epsilon }{m} \) and \( \sinh{\phi} = \beta \gamma \), \begin{align} \cosh{ \frac{\varphi }{2} } & = \sqrt{ \frac{ \cosh{\varphi} + 1 }{2} } = \sqrt{ \frac{ \epsilon + m }{2m} } \\ \sinh{ \frac{\varphi }{2} } & = \sqrt{ \frac{ \cosh{\varphi} - 1 }{2} } = \sqrt{ \frac{ \epsilon - m }{2m} } \end{align} The boost transformation is \begin{align} S(\Lambda ) = \begin{pmatrix} \cosh{\varphi} & - \pmb{ \sigma } \cdot {\bf n} \sinh{\varphi } \\ - \pmb{ \sigma } \cdot {\bf n} \sinh{\varphi } & \cosh{\varphi } \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sqrt{ \frac{\epsilon + m}{2m} } & - \pmb{\sigma } \cdot {\bf n} \sqrt{ \frac{\epsilon - m}{2m} } \\ - \pmb{\sigma } \cdot {\bf n} \sqrt{ \frac{\epsilon - m}{2m} } & \sqrt{ \frac{\epsilon + m}{2m} } \end{pmatrix} \end{align} Use \( (-1) \times {\bf n}' \) for boosting from the rest frame of a particle into the frame of an observer. Using \( \psi (x') = S( \Lambda) \psi (x) \), obtain the plane wave solutions. I have still a question: the Dirac field \( \phi \) has the dimension \( [ \psi ] = L^{ 1/2 } \) and we can see from the commutation relation that \( [b_{\alpha } ] = [d_{\alpha }] = L^{1/2} \). Therefore, can we confirm that \( [u] = [v] = L^{0} \)? (If this is true, it is consistent.) \begin{align} \psi (x) & = \int \frac{ d {\bf k} }{ (2 \pi)^{3} } \frac{m }{ k_{0 } } \sum_{ \alpha = 1,2 } \left[ b_{\alpha } (k ) u^{ (\alpha ) } (k ) e^{- i k \cdot x} + d^{\dagger }_{\alpha } (k ) v^{ ( \alpha ) } (k) e^{ik \cdot x } \right] \\ \overline{ \psi } (x) & = \int \frac{ d { \bf k } }{ ( 2 \pi )^{3} } \frac{m }{ k_{0 } } \sum_{ \alpha = 1, 2 } \left[ b^{\dagger }_{ \alpha } (k ) \overline{u }^{ (\alpha ) } (k ) e^{ i k \cdot x} + d^{ }_{\alpha } (k ) \overline{v }^{ ( \alpha ) } (k) e^{- ik \cdot x } \right] \end{align} Anticommutation relations are \begin{align} \lbrace b_{\alpha }(q) , b^{ \dagger }_{\beta } (q' ) \rbrace & = (2 \pi)^{3} \frac{ k_{0} }{ m} \delta ( {\bf q} - {\bf q}' ) \delta_{\alpha \beta } \\ \lbrace d_{\alpha }(q) , d^{ \dagger }_{\beta } (q' ) \rbrace & = (2 \pi)^{3} \frac{ k_{0} }{ m} \delta ( {\bf q} - {\bf q}' ) \delta_{\alpha \beta } \end{align} and all other anticommutators give zero. \begin{align} \lbrace \psi_{\xi } (t, {\bf x}) , \psi^{\dagger }_{\eta } ( t , {\bf y} ) \rbrace = \delta_{ \xi \eta } \delta ( {\bf x} - {\bf y } ) \end{align} \begin{align} \lbrace \psi_{a} (x) , \overline{\psi}_{b } (x') \rbrace = (i \gamma^{\mu } \partial_{ \mu } + m )_{ab} i \Delta (x- x') \end{align}

ヌメロフ法

\( y''(z) = P(z) = g(z) y(z) \)というようなタイプの微分方程式の数値解を得ようとする時には、ヌメロフ法が便利だと思う。

ヌメロフ法の簡単な説明としては、まずテイラー展開で \begin{align} y_{n+1} + y_{n-1} - 2 y_{n} = \frac{2}{2!} y''(z) h^{2} + \frac{2}{4!} y''''(z) h^{4} + \mathcal{O}(h^{6}) \; , \end{align} とする。 \( y_{n+1} = y(z+h), \; y_{n-1} = y(z-h) \)
そして\( y''''(z) \)については、 \( y''(z) = P(z) \)であることを使って、 \begin{align} P_{n+1} + P_{n-1} - 2 P_{n} = \frac{2}{2!} P''(z) h^{2} + \mathcal{O}(h^{4} ) \; , \\ h^{2} y''''(z) = h^{2} P''(z) = P_{n+1} + P_{n-1} - 2P_{n} - \mathcal{O}(h^{4 } ) \; , \end{align} となることがわかる。それを利用して、 \begin{align} y_{n+1} + y_{n-1} - 2 y_{n} & = P_{n} h^{2} + \frac{ 2 h^{2} }{4! } \left( P_{n+1} + P_{n-1} - 2P_{n} - \mathcal{O}(h^{4 } ) \right) + \mathcal{O}(h^{6 } ) \; , \\ & = \frac{h^{2} }{12 } P_{n+1} + \frac{5h^{2}}{6} P_{n} + \frac{h^{2}}{12 } P_{n-1} + \mathcal{O}(h^{6} ) \; \end{align} となることがわかる。よって、 \begin{align} \left( 1 - \frac{h^{2} }{12} g_{n+1} \right) y_{n+1} + \left( 1 - \frac{h^{2} }{12} g_{n-1} \right) y_{n-1} = \left( 2 - \frac{5 h^{2 } }{6 } g_{n} \right) y_{n} + \mathcal{O}(h^{6} ) \; \end{align} を得る。これがヌメロフ法である。

ヌメロフ法を使ってこの手の微分方程式を解いてみる。 \begin{align} \frac{d^{2} \chi_{n} }{d z^{2}} + \left( \frac{ - \frac{\alpha^{2} }{4} + \frac{1}{4} }{z^{2} } + \frac{ n + \frac{\alpha}{2} + \frac{1 }{2} }{z} - \frac{1}{4} \right) \chi_{n} = 0 \; \end{align} といった方程式はどうだろう。この解析解は \begin{align} \chi_{n } (z) = z^{ \frac{\alpha + 1}{2} } e^{ \frac{-z}{2} } L^{(\alpha ) }_{n } (z) \end{align} である。
例として、 \( \alpha=1.0 \; , \; N=2 \)と \( \alpha=2.5 \; , N=3 \), \( \alpha=4.5, \; N=5 \), \( \alpha=5, \; N=7 \) の場合では、

\( \alpha=1.0, \; N=10 \)　と　\( \alpha=1.0, \; N=20 \)の場合は

のようになり、Nが大きくなるほど収束は遅くなることがわかる。
全体的に解析解と数値解はかなり近い値となっている。計算速度もかなり速かったと思う。

欧州連合は酷い組織

日本の大衆一般は欧州連合をどのように思っているだろうか。ヨーロッパ連合だから福祉が充実していて、民主的で協調性があって経済的にも良いだとか思っている方もいるのではないだろうか。
はっきり言いましょう。欧州連合は仲良し連合だというのは間違った認識です。

ニール・デービッドソンのお話。
欧州統合に向けての地味な動きは第2次世界大戦のすぐ後1947年に始まった。10月には関税及び貿易に関する一般協定(GATT)が署名された。これはソ連に対抗する必要があったからだ。 本格的なEUの起源は１９５７年のローマ条約と、欧州経済共同体(EEC)の設立である。イギリスでは共通市場と呼ばれていた。欧州経済共同体には４つの意図があった。
1)市場を個々の国家の国境をこえるサイズに拡大すること、
2)EEC内での保護主義を廃止し、EEC外との貿易には保護主義をとること、
3)ドイツとフランスに対抗できる国を含めること、（これができなかったらドイツとフランスは再び戦争を起こしていたかもしれない）
どうも保護主義が1929年の世界恐慌以後の経済恐慌の原因の一つだったという考え方があるようですが、これは間違った意見だと思います。
4)東西の冷戦でソ連に対抗する必要があった。アメリカもEECには反対しなかった。 この点は重要だ。欧州連合というのはアメリカに対抗するためのものだという誤った意見がある。 ウクライナやユーゴスラビア問題ではEU各国で足並みが揃わないことからも、EUがアメリカに対抗するものではないというのはないことがわかる。

EU内は不均一な構造で、大国だけが得をするシステムになっている。 小国ギリシャ、アイルランド、ポルトガル、スペイン、イタリアの命運は支配国ドイツが握るというようなシステムを作り出している。 それでいてEU外には食料の輸出ダンピングと輸入ブロックをかけるわけだ。 欧州連合のこれらの面は改革されるはずだとする意見があるが、されるかどうかは不透明である。ギリシャのヤニス・バルファキスなんかは別の欧州は可能だといって、EUの改革を考えている。 EUの問題点を詳細にかたりつつ、EUには改革が必要だといっている。だが、彼らはユートピア思想持ちなのであり、革命思想持ちではない。 EUが改革を行うならとうの昔にやっているはずである。
EUの主組織は選挙で選ばれていない者らが運営する。欧州中央銀行、欧州委員会、欧州理事会などである。EU加盟国は法律制定を主導できず、欧州委員会の決めたことに従うのが通例となっている。
ハイエクの１９３９年の記事The Economic Conditions of Interstate Federalismで、ハイエクは官僚が主導するEUのような組織を支持していた。 そこでは政治家や市民が市場の秩序を脅かすような要求ができず、経済政策は厳正なルールの下に置かれる。それはまさに新自由主義の一部である。
極左はEECには反対だった。 1970年代後半に出現し始めた新自由主義はEECにとって好都合だった。EECは資本主義の組織となった。 EUが労働者の権利や環境を守っているというのは間違いである。スコットランドの漁業はEUの共通漁業政策のせいで壊滅的となった。 魚の乱獲の問題はあるが、漁業に従事するものを他でどこに雇うかなどの代替案を出そうとしないEUが労働者をまもっているわけがない。
.....


欧州連合は本当に酷い機関だと思います。ハイエクが欧州連合のような組織運営を支持していたというようなことからして、新自由主義と欧州連合のつながりの深さを実感します。EUの運営はドイツや欧州委員会の独裁で、ギリシャなど周辺国の経済は恐慌が続いていて、難民は続々と押し寄せ現地の人々と衝突をし、シェンゲン条約によってテロリストが自由に活動できて、EUはこれにまともに対処できていません。左派はEUが労働者を保護しているなどどたわごとを言っていますが、フランスだって労働者の保護どころか安い残業代で労働者をこき使おうとしているわけです。 欧州連合が仲良し連合だという認識も間違っていて、最近ではギリシャがドイツを訴える計画でいます。 第二次世界大戦でドイツがギリシャを侵略し1943年にドイツ軍が317人のギリシャ民間人を虐殺したとギリシャが言っているわけですが、ギリシャはその戦後賠償金をドイツに支払ってもらいたいわけです。 賠償金は最高で4500億ドル(45兆円!)にまでのぼるそうです。戦争から60年以上経っているので、戦後賠償の話は解決していてもおかしくないはずです。ですがギリシャは昔の戦争犯罪をもちだしてドイツに抵抗したいわけです。これからも欧州連合が仲良し連合でないことがわかります。 またイタリアでは大手の銀行が潰れそうです。破産となれば公的資金が投入されますが、EUがイタリアを支援する時に、各国が協調するでしょうか。自分のところにも金くれと交渉するかもしれません。面倒なことになるでしょうね。テロ事件も続いています。EUにいるかぎりはEU移民を制限できませんし、EU移民に紛れてテロリストが侵入してくるかもしれません。昨年ドイツは100万人以上のシリア難民をドイツに入れましたが、このシリア難民が何年かして欧州連合の市民権を得てEUを動き回ることができるようになるでしょう。シリア難民の中にはテロリストも紛れているかもしれません。テロリストがEU内を自由に移動するようになれば大きな問題になります。このようなことを考えれば、イギリスがEU離脱を決めたのは正しい判断だということがわかると思います。

ロドリゲス公式よりも便利な公式

有名な多項式を計算する場合にロドリゲスの公式をつかって計算する人がいるはず。ロドリゲス公式よりもはるかに速く計算できる方法というと漸化式だろうと思う。

漸化式を使わずに、一般ラゲール多項式を計算する公式はある。

\begin{align} L^{ (\alpha) }_{n } (z) = \sum^{n}_{k=0} \frac{ (-1 )^{k} }{ k! (n-k)! } z^{k } \frac{ (\alpha + n)! }{ (\alpha + k)! } \quad \end{align} 便宜上この公式をformula GLとしよう。この公式はロドリゲス公式からライプニッツの公式を使って導出できる。
この公式をつかって \begin{align} L^{(\alpha ) }_{0} (z) =1 \; , \quad L^{(\alpha )}_{1} (z) = \alpha + 1 - z \; , \quad L^{(\alpha ) }_{2} (z) = \frac{(\alpha + 2) (\alpha + 1 ) }{2 } - (\alpha + 2) z + \frac{ z^{2 } }{2} \; , \\ L^{(\alpha ) }_{3} (z) = \frac{1}{6} (\alpha + 3 ) (\alpha + 2 ) (\alpha + 1) + \frac{(-1)}{2} (\alpha +3)(\alpha + 2) z + \frac{( \alpha + 3) }{2} z^{2} + \frac{ (-1) }{6} z^{3} \end{align} を計算してみた。 また、4次5次の多項式も \begin{align} L^{(\alpha ) }_{4} (z) & = \frac{1}{24} (\alpha + 4) (\alpha + 3) (\alpha + 2) (\alpha + 1) + \frac{(-1)}{6} (\alpha + 4)(\alpha + 3)(\alpha +2) z + \frac{1}{4} (\alpha + 4)(\alpha + 3)z^{2} + \frac{(-1)}{6} (\alpha +4) z^{3} + \frac{1}{24} z^{4 } \\ L^{(\alpha ) }_{5} (z) & = \frac{1}{120}(\alpha + 5)(\alpha + 4) (\alpha +3) (\alpha +2) (\alpha + 1) + \frac{(-1)}{24} (\alpha +5)(\alpha +4) (\alpha +3) (\alpha +2) z + \frac{1}{12} (\alpha +5)(\alpha +4) (\alpha +3) z^{2} \nonumber \\ & \quad + \frac{(-1) }{12} (\alpha +5) (\alpha +4) z^{3} + \frac{1}{24} (\alpha +5) z^{4} + \frac{(-1) }{120} z^{5 } \end{align} となる。
この公式の利点は漸化式にくらべて各項の係数を把握しやすいというところだと思う。もちろん低次の項に限っての話でしょうが。 こららの他にクンマー級数(クンマーの超幾何関数)をもちいて \begin{align} L^{(\alpha ) }_{n} (z) = \frac{ (\alpha + n) !}{ n! \alpha ! } M(-n, \alpha+1; z ) \end{align} とかくこともできる。この公式をformula Kとすると、もちろんformula GLで計算される結果と一致する。 たとえば\( \alpha=1.5, \; N=4 \) と \( \alpha=5.0, \; N=7 \)の場合を計算しグラフに示すと

といったようになる。

またformula GLを使うことで \begin{align} \frac{\partial L^{(\alpha) }_{n } (z) }{\partial z} = - L^{(\alpha + 1) }_{n-1} (z) \end{align} という公式も証明できる。

単純に、\( L^{(\alpha ) }_{n} (z ) \)の微分を考えてやると、 \begin{align} \frac{\partial L^{(\alpha) }_{n } (z) }{\partial z} & = \sum^{n}_{k=1} \frac{ (-1)^{k} }{(k-1)! (n-k)!} z^{k-1} \frac{(\alpha + n)!}{(\alpha + k)! } \\ & = - \sum^{n}_{k=1} \frac{ (-1)^{k-1} }{(k-1)! ( (n -1) - (k-1) )!} z^{k-1} \frac{(\alpha + 1 + (n-1) )!}{(\alpha + 1 + (k-1) )! } \end{align} となる。ここで\( \nu = k-1 \) としてやると \begin{align} \frac{\partial L^{(\alpha) }_{n } (z) }{\partial z} = - \sum^{n-1}_{\nu = 0} \frac{ (-1)^{\nu} }{ \nu ! (n-1 - \nu) ! } z^{\nu } \frac{(\alpha + 1 + (n-1) )!}{(\alpha + 1 + \nu )! } = - L^{(\alpha + 1) }_{n-1} (z) \; \end{align} となることがわかる。

ケミカルポテンシャルについて（２）

Precise な定義が抽象的でわかりづらいという経験はよくあるのではないだろうか。manifold の定義なんかは（topological space 自体もわかりにくいのだが）簡単な具体例を挙げてやっと理解が進むという程度だ。それでもその科学用語を、「局所的にユークリッド的な空間だ」とすると感覚的につかめたりすることは出来る。あるものごとを深く理解するには、字義的な理解と感覚的かつheuristicな把握・納得の両方が最低必要なんじゃないかと思う。前回紹介したchemical potential についても同感で、 という定義はあり、「エントロピー、体積一定の元で、ある粒子などを一つ系に加えた時にその系がどれだけ内部エネルギーを増加させるかの尺度」ではあるがいまいち深い理解が得られないのだ。物理学的に厳密な議論ではないが、
１．拡散のしやすさ
２．熱力学関数の変化への寄与の度合い per particle　（熱力学関数の極値によって系の平衡状態が定まる）
３．体積、エントロピー一定化での内部エネルギー変化度合い


フォトンのケミカルポテンシャルを０として扱うことができることについて多少の疑問は生じるけれども、フォトン自体は質量が０なのでこれは妥当だろうか。また計算が簡単になるという利点もある。フォトンはスピンが１の粒子であるからBose統計に従う。

その物体が放射の散乱や蛍光を起こさないと仮定する。 をその物体の吸収強度とすればこの量は、その物体の表面に入射する放射エネルギーの断片として解釈される。 はそれぞれ放射の振動数、入射角を表す。
Kirchhoff's law は という形で与えられる。もし物体が放射を散乱させるのであればこの式はより制限を受ける。

16-17シーズンのマンチェスターユナイテッド

今シーズンのマンUはプレミア優勝を狙えるのではと個人的には思っている。 なんといっても監督がジョゼ・モウリーニョであること。 プレミア3回、FAカップ1回、リーグカップ3回制覇している。リーグ戦に限れば ポルトガル、イングランド、イタリア、スペインではかなりの成績を残している。モウリーニョは以前は試合中にメモをよくとっていたが、最近はそのような行動はみられない。 個人的にはメモをとってほしいのだが。
今シーズンのマンUの補強の最大の関心はズラタン・イブラヒモビッチだと思う。イブラヒモビッチのリーグ戦の戦績はかなりのもの。 アヤックス、ユベントス、インテル、バルセロナ、ミラン、PSGこれらすべてで主力としてリーグ戦優勝を経験している。 コミュニティーシールドでのレスター戦でのイブラヒモビッチのヘッドでのゴールはオーサム。シュートのコースが良すぎる。しかも後半の一番大事な時間帯でゴールを決めた。 ところでこの試合では前半に岡崎慎司がかなり頑張っていて、マンUのゴールを２、３回くらい脅かしていました。 クラウディオ・ラニエリ監督はどうして岡崎を下げたのでしょうか。不思議でなりませんでした。

イブラのメンタリティーはモウリーニョのメンタリティーとかなり似ているところがあると思う。 勝利こそが哲学だというメンタリティーだ。 かつてイブラがインテル時代にモウリーニョの下で1年働いたあとにバルサに移籍したが、バルサのグアルディオラとの関係は良いものではなかった。 結局ミランに移籍となった。そのペップはマンチェスターシティの監督となっている。 シティとのマンチェスターダービーではグアルディオラにリベンジする意欲は相当なもののはず。 モウリーニョとグアルディオラのライバル関係もあるので、ダービーは非常に白熱したものになるはず。

モウリーニョはFWの補強にイブラ、MFにポグバ、DFにエリックバイリーをとった。DFの補強としてもバイリーは良い補強だと思う。 DFとしてはかなりのプレーヤーだと思う。モウリーニョは重要な試合ではほぼ必ずと言っていいほど守備的な戦術に徹してくるので、バイリーはその戦術の中心だろう。 マタはフィジカルコンタクトの弱さはあるが技術がかなり高いので、戦術と中盤の使い方によっては大きな戦力になる。 フェライニは使い方次第。プレースキックでの守備など。 ルーニーはどうだろう。 個人的には近年のモウリーニョが好む4-2-3-1のフォーメーションではなく、オーソドックスな4-4-2でイブラとの2トップが見たい。 ミキタリアンはまだ不明なところ多い。 個人的にはルーク・ショーはそこまでの選手では無いと思うが、監督の指導法によってはジョーコールのように大きく伸びる可能性がある。 ただ最近のモウリーニョは若い選手を甘やかすとも解釈できる発言もしているので、リンガードやショーがどこまで伸びるかはわからない。

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