ロドリゲス公式よりも便利な公式

有名な多項式を計算する場合にロドリゲスの公式をつかって計算する人がいるはず。ロドリゲス公式よりもはるかに速く計算できる方法というと漸化式だろうと思う。

漸化式を使わずに、一般ラゲール多項式を計算する公式はある。

\begin{align} L^{ (\alpha) }_{n } (z) = \sum^{n}_{k=0} \frac{ (-1 )^{k} }{ k! (n-k)! } z^{k } \frac{ (\alpha + n)! }{ (\alpha + k)! } \quad \end{align} 便宜上この公式をformula GLとしよう。この公式はロドリゲス公式からライプニッツの公式を使って導出できる。
この公式をつかって \begin{align} L^{(\alpha ) }_{0} (z) =1 \; , \quad L^{(\alpha )}_{1} (z) = \alpha + 1 - z \; , \quad L^{(\alpha ) }_{2} (z) = \frac{(\alpha + 2) (\alpha + 1 ) }{2 } - (\alpha + 2) z + \frac{ z^{2 } }{2} \; , \\ L^{(\alpha ) }_{3} (z) = \frac{1}{6} (\alpha + 3 ) (\alpha + 2 ) (\alpha + 1) + \frac{(-1)}{2} (\alpha +3)(\alpha + 2) z + \frac{( \alpha + 3) }{2} z^{2} + \frac{ (-1) }{6} z^{3} \end{align} を計算してみた。 また、4次5次の多項式も \begin{align} L^{(\alpha ) }_{4} (z) & = \frac{1}{24} (\alpha + 4) (\alpha + 3) (\alpha + 2) (\alpha + 1) + \frac{(-1)}{6} (\alpha + 4)(\alpha + 3)(\alpha +2) z + \frac{1}{4} (\alpha + 4)(\alpha + 3)z^{2} + \frac{(-1)}{6} (\alpha +4) z^{3} + \frac{1}{24} z^{4 } \\ L^{(\alpha ) }_{5} (z) & = \frac{1}{120}(\alpha + 5)(\alpha + 4) (\alpha +3) (\alpha +2) (\alpha + 1) + \frac{(-1)}{24} (\alpha +5)(\alpha +4) (\alpha +3) (\alpha +2) z + \frac{1}{12} (\alpha +5)(\alpha +4) (\alpha +3) z^{2} \nonumber \\ & \quad + \frac{(-1) }{12} (\alpha +5) (\alpha +4) z^{3} + \frac{1}{24} (\alpha +5) z^{4} + \frac{(-1) }{120} z^{5 } \end{align} となる。
この公式の利点は漸化式にくらべて各項の係数を把握しやすいというところだと思う。もちろん低次の項に限っての話でしょうが。 こららの他にクンマー級数(クンマーの超幾何関数)をもちいて \begin{align} L^{(\alpha ) }_{n} (z) = \frac{ (\alpha + n) !}{ n! \alpha ! } M(-n, \alpha+1; z ) \end{align} とかくこともできる。この公式をformula Kとすると、もちろんformula GLで計算される結果と一致する。 たとえば\( \alpha=1.5, \; N=4 \) と \( \alpha=5.0, \; N=7 \)の場合を計算しグラフに示すと

といったようになる。

またformula GLを使うことで \begin{align} \frac{\partial L^{(\alpha) }_{n } (z) }{\partial z} = - L^{(\alpha + 1) }_{n-1} (z) \end{align} という公式も証明できる。

単純に、\( L^{(\alpha ) }_{n} (z ) \)の微分を考えてやると、 \begin{align} \frac{\partial L^{(\alpha) }_{n } (z) }{\partial z} & = \sum^{n}_{k=1} \frac{ (-1)^{k} }{(k-1)! (n-k)!} z^{k-1} \frac{(\alpha + n)!}{(\alpha + k)! } \\ & = - \sum^{n}_{k=1} \frac{ (-1)^{k-1} }{(k-1)! ( (n -1) - (k-1) )!} z^{k-1} \frac{(\alpha + 1 + (n-1) )!}{(\alpha + 1 + (k-1) )! } \end{align} となる。ここで\( \nu = k-1 \) としてやると \begin{align} \frac{\partial L^{(\alpha) }_{n } (z) }{\partial z} = - \sum^{n-1}_{\nu = 0} \frac{ (-1)^{\nu} }{ \nu ! (n-1 - \nu) ! } z^{\nu } \frac{(\alpha + 1 + (n-1) )!}{(\alpha + 1 + \nu )! } = - L^{(\alpha + 1) }_{n-1} (z) \; \end{align} となることがわかる。

ケミカルポテンシャルについて（２）

Precise な定義が抽象的でわかりづらいという経験はよくあるのではないだろうか。manifold の定義なんかは（topological space 自体もわかりにくいのだが）簡単な具体例を挙げてやっと理解が進むという程度だ。それでもその科学用語を、「局所的にユークリッド的な空間だ」とすると感覚的につかめたりすることは出来る。あるものごとを深く理解するには、字義的な理解と感覚的かつheuristicな把握・納得の両方が最低必要なんじゃないかと思う。前回紹介したchemical potential についても同感で、 という定義はあり、「エントロピー、体積一定の元で、ある粒子などを一つ系に加えた時にその系がどれだけ内部エネルギーを増加させるかの尺度」ではあるがいまいち深い理解が得られないのだ。物理学的に厳密な議論ではないが、
１．拡散のしやすさ
２．熱力学関数の変化への寄与の度合い per particle　（熱力学関数の極値によって系の平衡状態が定まる）
３．体積、エントロピー一定化での内部エネルギー変化度合い


フォトンのケミカルポテンシャルを０として扱うことができることについて多少の疑問は生じるけれども、フォトン自体は質量が０なのでこれは妥当だろうか。また計算が簡単になるという利点もある。フォトンはスピンが１の粒子であるからBose統計に従う。

その物体が放射の散乱や蛍光を起こさないと仮定する。 をその物体の吸収強度とすればこの量は、その物体の表面に入射する放射エネルギーの断片として解釈される。 はそれぞれ放射の振動数、入射角を表す。
Kirchhoff's law は という形で与えられる。もし物体が放射を散乱させるのであればこの式はより制限を受ける。

16-17シーズンのマンチェスターユナイテッド

今シーズンのマンUはプレミア優勝を狙えるのではと個人的には思っている。 なんといっても監督がジョゼ・モウリーニョであること。 プレミア3回、FAカップ1回、リーグカップ3回制覇している。リーグ戦に限れば ポルトガル、イングランド、イタリア、スペインではかなりの成績を残している。モウリーニョは以前は試合中にメモをよくとっていたが、最近はそのような行動はみられない。 個人的にはメモをとってほしいのだが。
今シーズンのマンUの補強の最大の関心はズラタン・イブラヒモビッチだと思う。イブラヒモビッチのリーグ戦の戦績はかなりのもの。 アヤックス、ユベントス、インテル、バルセロナ、ミラン、PSGこれらすべてで主力としてリーグ戦優勝を経験している。 コミュニティーシールドでのレスター戦でのイブラヒモビッチのヘッドでのゴールはオーサム。シュートのコースが良すぎる。しかも後半の一番大事な時間帯でゴールを決めた。 ところでこの試合では前半に岡崎慎司がかなり頑張っていて、マンUのゴールを２、３回くらい脅かしていました。 クラウディオ・ラニエリ監督はどうして岡崎を下げたのでしょうか。不思議でなりませんでした。

イブラのメンタリティーはモウリーニョのメンタリティーとかなり似ているところがあると思う。 勝利こそが哲学だというメンタリティーだ。 かつてイブラがインテル時代にモウリーニョの下で1年働いたあとにバルサに移籍したが、バルサのグアルディオラとの関係は良いものではなかった。 結局ミランに移籍となった。そのペップはマンチェスターシティの監督となっている。 シティとのマンチェスターダービーではグアルディオラにリベンジする意欲は相当なもののはず。 モウリーニョとグアルディオラのライバル関係もあるので、ダービーは非常に白熱したものになるはず。

モウリーニョはFWの補強にイブラ、MFにポグバ、DFにエリックバイリーをとった。DFの補強としてもバイリーは良い補強だと思う。 DFとしてはかなりのプレーヤーだと思う。モウリーニョは重要な試合ではほぼ必ずと言っていいほど守備的な戦術に徹してくるので、バイリーはその戦術の中心だろう。 マタはフィジカルコンタクトの弱さはあるが技術がかなり高いので、戦術と中盤の使い方によっては大きな戦力になる。 フェライニは使い方次第。プレースキックでの守備など。 ルーニーはどうだろう。 個人的には近年のモウリーニョが好む4-2-3-1のフォーメーションではなく、オーソドックスな4-4-2でイブラとの2トップが見たい。 ミキタリアンはまだ不明なところ多い。 個人的にはルーク・ショーはそこまでの選手では無いと思うが、監督の指導法によってはジョーコールのように大きく伸びる可能性がある。 ただ最近のモウリーニョは若い選手を甘やかすとも解釈できる発言もしているので、リンガードやショーがどこまで伸びるかはわからない。

ブログ編集について

ブロガーのブログ記事の幅を変更する方法

ブロガーのマイブログのところにあるテンプレートボタンを押す。次に HTMLを編集をクリックするとHTMLのコードがあらわれるので、そのなかで
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<b:variable default='200px' name='content.width' type='length' value='950px'/>
<b:variable default='0' name='main.column.left.width' type='length' value='0px'/>
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の部分のvalue='950px'の部分を変更することでブログの記事の幅も変更される。

ブログの記事に数式を入れる方法

テンプレートボタンを押し、HTMLを編集をクリックし、HTMLのコードが表われる。そのなかの <head> と</head>の間の領域に
<script type="text/javascript" src="https://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"> </script>
というコードを入れることでMathJaxが利用できるようになる。MathJaxの使い方はLatexとほぼ同じである。

ミニブログ（１）ちゃんねる桜討論

水島さんが司会の番組。かなり深い議論になっていて面白い。
国のバランスシートは高橋洋一がはじめて作ったようだ。 「国の借金が１０００兆円を超えて、利払いが～～以下略」というような情報に騙されてしまうような人はこれを見てほしいと思う。借金があるなら、その借金を貸している人たちもいるわけで、それは日本国民であるということ。政府が50兆円国債を発行してそれらを国内の投資家らが買えば、国全体のバランスシートのうち借り方に50兆円、貸方に50兆円それぞれ増えるだけである。 それよりも大事なことははやくデフレから脱却して、しっかりした経済成長をすることである。

言うまでもないことかもしれないが、念のため言っておきます。

消費税の増税など全く必要ありません。日本は世界最大の対外純債権国であり、海外へお金を支払う義務は実質的にはありません。経常収支の黒字は国内の投資先が少ないということでもあります。今の日本は国債を増発して需要を拡大させるべきです。経常収支黒字国が内需を拡大させなかったら、世界経済の成長の妨げになります。