楕円偏光、円偏光、直線偏光
ある方向へ伝播する平面波がその方向と垂直な面内で振動するが、その振動方向は特定の偏り方を示していてそれを古典的に偏光と呼んでいる。仮にその古典場が
\begin{align}
{\bf A} & = {\bf A}_{0} e^{ - i( \omega t - {\bf k} \cdot {\bf r} ) } \\
F^{ \mu \nu } & = \partial^{\mu } A^{\nu } - \partial^{\nu } A^{\mu }
\end{align}
で与えられているとする。場の値として、最終的には実部のみをとることにする。
\begin{align}
{\bf E} = i A_{0} k e^{ - i( \omega t - {\bf k} \cdot {\bf r} ) } = {\bf E}_{0} e^{ - i ( \omega t - {\bf k} \cdot {\bf r} ) } \\
{\bf B} = i {\bf k} \times {\bf A} = {\bf B}_{0 } e^{ - i ( \omega t - {\bf k} \cdot {\bf r} ) }
\end{align}
ここで\( {\bf E }_{0} \)は複素数値をとるので, \( {\bf c}_{1}, {\bf c}_{2 } \)という二つの実数ベクトルを使って
\begin{align}
{\bf E}_{0} = {\bf c} e^{ - i \gamma } = ( {\bf c}_{1} + i {\bf c}_{2 } ) e^{ - i \gamma }
\end{align}
と表してやる。考えている平面波がｘ軸方向へ伝播しているとし、 \( {\bf c}_{1}, {\bf c}_{2 } \)をそれぞれy軸ｚ軸の方向にとってやる。つまり
\begin{align}
{\bf c}_{1} =
\begin{pmatrix}
0 \\
c_{1} \\
0
\end{pmatrix} \; , \quad
{\bf c}_{2} =
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
c_{2}
\end{pmatrix}
\end{align}
である。すると、電場は
\begin{align}
E_{y} = c_{1} \cos( {\bf k} \cdot {\bf r} - \omega t - \gamma ) \\
E_{z } = c_{2 } \sin{ ( {\bf k} \cdot {\bf r} - \omega t - \gamma ) }
\end{align}
となって
\begin{align}
\left( \frac{ E_{y} }{ c_{1} } \right)^{2} + \left( \frac{ E_{z } }{c_{2 } } \right)^{2} = 1
\end{align}
を得る。このときこの平面波は楕円偏光にあるという。\( | c_{1 } |= | c_{2 } | \) なら円偏光。このときyｚ軸の選び方に自由度が生じる。 \( {\bf E}_{0 } \)は完全偏光のときは時間非依存だが、もちろんEは明らかに時間に依存する。完全な円偏光では、
\begin{align}
{\bf E}_{0} \times {\bf E}^{\ast }_{0 } & = E_{y } E^{\ast }_{z } - E_{z } E^{\ast }_{y } \\
& = - | E_{y } |^{2} \left\lbrace \frac{ E_{z } }{ E_{y } } - \left( \frac{ E_{z } }{E_{y } } \right)^{\ast } \right\rbrace = - 2 i {\bf c}_{1 } \times {\bf c}_{2 }
\end{align}
つまり以下のように
\begin{align}
{\bf c}_{1} \times {\bf c}_{2} = | E_{y} |^{2} \frac{1 }{2 i} \left\lbrace \frac{ E_{z } }{ E_{y } } - \left( \frac{ E_{z } }{E_{y } } \right)^{\ast } \right\rbrace
\end{align}
なので
\begin{equation}
\frac{ E_{0z} }{E_{0 y}}
\end{equation}
の虚数部分がLeft,Right-handedを決めることがわかる。そしてLeft-handedとRight-handedの円偏光のベクトル
\begin{align}
e^{(-1) } = \frac{ i }{ \sqrt{2} } \left( E_{0y} - i E_{0z} \right) \; , \quad e^{(+1 ) } = \frac{ - i }{ \sqrt{2} } \left( E_{0y} + i E_{0z} \right)
\end{align}
を考えることができる。ここではｘｙｚ座標系はRight-handedであること、そして電磁波の移動方向はx軸方向であることを前提としている。量子力学的には電磁波はフォトンだが、そのフォトンの運動量が所与のとき、その運動量の固有値が２重に縮退していることを意味している。
もし\( c_{1},c_{2 } \) いずれかが０なら直線偏光（線形な偏光ともかんがえられる）している。ｋの場合だと、例えば\( c_{1 }=0 \)の時には
\begin{align}
E_{y} = 0 \\
E_{z} = c_{2} \cos( {\bf k} \cdot {\bf r} - \omega t - \gamma )
\end{align}
のように表すことができる。\( E_{0 } \)が時間に依存するときはその平面波は部分偏光している。まず
\begin{align}
P_{\alpha \beta} \equiv \overline{ E_{0 \alpha} E^{\ast }_{0 \beta} }
\end{align}
という２階のテンソルを考える。ここでは時間平均をとっている。さらに
\begin{align}
P = P_{\alpha \alpha} = \overline{ E_{0 y} E^{\ast }_{0 y } } + \overline{ E_{0 z } E^{\ast }_{0 z } }
\end{align}
とおいて、偏光テンソルを以下のように定義できる。
\begin{align}
\rho_{\alpha \beta} \equiv \frac{ P_{\alpha \beta } }{P } =
\begin{pmatrix}
\frac{ \overline{ E_{0y} E^{\ast}_{0 y } } }{P } & \frac{ \overline{ E_{0y} E^{\ast}_{0 z } } }{P } \\
\frac{ \overline{ E_{0 z } E^{\ast}_{0 y } } }{P } & \frac{ \overline{ E_{0 z } E^{\ast}_{0 z } } }{P }
\end{pmatrix}
\end{align}
このDeterminantは偏光の度合いを表すのに使われる。その値は０から1/4までをとる。
完全な自然光は偏光が全くない状態であり、
\begin{align}
\rho_{ \alpha \beta } = \frac{ 1}{2} \delta_{\alpha \beta }
\end{align}
と定義できる。このときその２階のテンソルのDeterminantは1/4である。上にもあるように部分変更は\( E_{0 } \)の時間依存性に由来するものだから完全偏光のときは時間依存はない。なのでDeterminantはこのとき０となる。パウリ行列を用いて偏光テンソルを
\begin{align}
\rho_{\alpha \beta } = \frac{1}{2 } \left( 1 + \xi_{ 1 } \sigma_{1} + \xi_{2} \sigma_{ 2} + \xi_{3} \sigma_{3 } \right)
\end{align}
と書いたときに、グザイをStokes parametersと呼ぶ。これらのパラメーターは[-1,1]の領域に値を持つ。２つの値、
\begin{align}
\xi_{2} \; , \quad \sqrt{ \xi^{2}_{1} + \xi^{2}_{3 } }
\end{align}
はLorentz変換で不変である。偏光テンソルのDeterminantは
\begin{align}
| \rho_{\alpha \beta } | = \frac{1 }{ 4 } ( 1 - \xi^{2}_{1 } - \xi^{2}_{2} - \xi^{2}_{3 } )
\end{align}
グザイ３が1のときはｙ軸方向への完全な直線偏光をあらわす。これが-1ならz軸方向への完全な直線偏光。完全な楕円偏光の場合はStokes parametersは
\begin{align}
\xi_{1} = 0 \\
\xi_{2} = 2 c_{1} c_{2 } \\
\xi_{3 } = c^{2}_{1} - c^{2}_{2 }
\end{align}
\( {\bf c}_{2 } \)はｚ軸の正の方向にとられる。
